Basic HTML Version
Bizonyítás:
A tételt szemléletünk alap-
ján is elfogadhatjuk, hiszen két pont kö-
zött a legrövidebb út az őket összekötő
szakasz, ezért
+
. A pon-
tos matematikai bizonyítás a következő:
Az
oldalaira szeretnénk azt belát-
ni, hogy +
. Mérjük fel az
oldal -n túli meghosszabbítására
a
= szakaszt, így a pontot
kapjuk. Ekkor a
△
egyenlő szá-
rú, így
=
. Mivel a
szakasz az
tartományá-
ban helyezkedik el, ezért
, így
. Tudjuk,
hogy a háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, mint
a kisebb szöggel szemben, ezért az
háromszögben
. Mi-
vel
= + = + , így +
. Hasonlóan látható be,
hogy +
és
+
, ezzel állításunkat igazoltuk.
A bizonyított tételt
háromszög-egyenlőtlenség
nek is szoktuk nevezni. Az old
a szokásos módon jelölve az oldalak között tehát a következő relációk állnak f
+ ,
+ ,
+ ,
amelyeket átrendezve a következő összefüggésekhez jutunk:
| − |
,
| − |
,
| − |
.
1. példa
Vegyünk fel egy egyenest és egy rá nem illeszke-
dő pontot! Igazoljuk, hogy a pontot az egyenes
pontjaival összekötő szakaszok közül a -ből az
egyenesre állított merőleges szakasz a legrövidebb!
Megoldás
Jelölje a merőleges talppontját , az egyenes további tetszőleges pontját ! A
derékszögű háromszögben a
a legnagyobb, ezért a vele szemközti o
legnagyobb:
.
TEX 2013. június 30. –
(4. lap/177. old.)
∗
Matematika 9.
∗
(11HA)
C
M
Y
K