Basic HTML Version
háromszöget kapunk.
A keletkezett háromszögek belső szögei a sokszög valamely belső szögével,
vagy annak egy részével egyenlők, ezért összegük a sokszög belső szögeinek
összegével egyenlő. Az
−
2 darab háromszög belső szögeinek összege:
(
−
2)
·
180
◦
, ezzel állításunkat igazoltuk.
Megjegyzés:
A tétel konkáv sokszög esetén is igaz, de ebben az esetben a biz
több lépésből áll.
ÉTEL:
Az oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege 360
◦
.
T
Bizonyítás:
Az oldalú sokszög bármely csúcsában a belső és a külső szög
összege 180
◦
, ezért a sokszög belső és külső szögeinek összege
·
180
◦
. Ha
ebből az összegből kivonjuk a belső szögek összegét, akkor a külső szögek
összegét kapjuk:
·
180
◦
−
(
−
2)
·
180
◦
= 360
◦
, ezzel az állítást beláttuk.
Megjegyzés:
A konvex sokszög külső szögeinek összege tehát nem függ az
számától, négyszög, ötszög, hatszög stb. esetén egyaránt 360
◦
. Ez azonban ne
lepő, ha végiggondoljuk a következőt: ahhoz, hogy bármely konvex sokszög ke
körbejárjuk, tengelyünk körül éppen egy teljes fordulatot kell megtennünk.
ÉTEL:
Az oldalú konvex sokszög átlóinak száma
T
·
(
−
3)
2
.
Bizonyítás:
Az előbb igazoltuk, hogy az oldalú
konvex sokszög egy csúcsából összesen (
−
3) át-
ló húzható, így ez csúcs esetén
·
(
−
3) átlót je-
lentene. Azonban ekkor egy átlót mindkét végpont-
jából megszámolunk, azaz minden átlót kétszer szá-
molunk, tehát az átlók száma az előbbi összeg fele:
·
(
−
3)
2
.
TEX 2013. június 30. –
(9. lap/182. old.)
∗
Matematika 9.
∗
(11HA)
C
M
Y
K
182