Basic HTML Version
A
négyzet területe = 4
·
+
2
⇒
2
=
−
4
·
.
A második négyzetet két és oldalú négyzetre, valamint négy, az eredeti
háromszöggel egybevágó derékszögű háromszögre bontottuk fel, ezért:
a
négyzet területe = 4
·
+
2
+
2
⇒
2
+
2
=
−
4
·
.
A két egyenlőségből következik az eredeti állításunk.
A Nílus áradásai után nagyon fontos feladat volt Egyip-
tomban a termékeny földbirtokok újra kimérése, mely töb-
bek között a derékszög pontos előállításán múlt. Egyes fel-
tételezések szerint az egyiptomi kötélkészítők a követke-
zőképpen szerkesztettek derékszöget: vettek egy 3 + 4 + 5
egység hosszúságú kötelet, és abból képeztek egy három-
szöget, melynek oldalai 3, 4 és 5 egység hosszúságúak voltak. Azt gondol
hogy az 5 egység hosszúságú oldallal szemben keletkezett szög derékszög. A
vetkezőkben meggyőződhetünk arról, hogy igazuk volt-e, vagy sem.
A Pitagorasz-tétel megfordítása:
Ha egy háromszög két oldalhosszának n
zetösszege egyenlő a harmadik oldalhosszának négyzetével, akkor a három
derékszögű.
#
b
a
c
A
B
C
b
a
d
E
F
D
Bizonyítás:
Jelölje a háromszög csúcsait
, oldalait a szokásosnak megfe-
lelően , és !
A feltétel miatt:
2
=
2
+
2
.
Vegyük fel a
derékszögű háromszöget, befogóinak hosszát és , átfo-
góját
jelölje! Ekkor a Pitagorasz-tétel miatt:
2
=
2
+
2
, azaz
2
=
2
,
amelyből következik, hogy = , mert és oldalhosszúságokat jelölnek, így
pozitívak.
Azt kaptuk, hogy az
és a
háromszögek mindhárom oldala egyenlő,
így egybevágóak, ezért megfelelő szögeik is egyenlők, azaz = 90
◦
, és ezt
akartuk belátni.
TEX 2013. június 30. –
(30. lap/203. old.)
∗
Matematika 9.
∗
(11HA)
C
M
Y
K