Basic HTML Version
= 3
·
(9999 + 1) + 1
·
(999 + 1) + 4
·
(99 + 1) + 4
·
(9 + 1) + 6 =
= 3
·
9999 + 3 + 1
·
999 + 1 + 4
·
99 + 4 + 4
·
9 + 4 + 6 =
=
3
·
9999 + 1
·
999 + 4
·
99 + 4
·
9
+
3 + 1 + 4 + 4 + 6
Mivel egy csupa 9-es számjegyből álló szám osztható 9-cel (9
·
11 1
# $! "
= 99
#
a pirossal jelölt tagok mindegyike osztható 9-cel, így a szám 9-cel való osztási
déka megegyezik a zölddel jelölt tagok összegének, azaz a 31 446 számjegyei
gének, 18-nak, a 9-cel való osztási maradékával. 18 = 2
·
9 + 0. A keresett m
tehát 0, azaz a szám osztható 9-cel.
A csupa 9-esből álló számok 3-mal is oszthatók, így ugyanezzel a módszerrel a
való osztási maradék is megállapítható.
c)
Írjuk fel a számot helyi értékes alakban, és alakítsuk át úgy, hogy a 11-gyel
való osztási maradék leolvasható legyen!
31 446 = 3
·
10 000 + 1
·
1000 + 4
·
100 + 4
·
10 + 6 =
= 3
·
(9999 + 1) + 1
·
(1001
−
1) + 4
·
(99 + 1) + 4
·
(11
−
1) + 6 =
= 3
·
9999 + 3 + 1
·
1001
−
1 + 4
·
99 + 4 + 4
·
11
−
4 + 6 =
=
3
·
9999 + 1
·
1001 + 4
·
99 + 4
·
11
+
3
−
1 + 4
−
4 + 6
Minden páros számú 9-es számjegyből álló (10
2
−
1 alakú,
∈
N
) szám és
minden olyan szám, amelynek első és utolsó számjegye 1-es, és közöttük páros
számú 0 van (10
2 +1
+ 1 alakú,
∈
N
), osztható 11-gyel. Mivel a pirossal
jelölt tagok mindegyike osztható 11-gyel, a szám 11-gyel való osztási maradéka
megegyezik a zölddel jelölt számok, a 31 446 számjegyeinek váltakozó előjellel
vett összegének, azaz 8-nak a 11-gyel való osztási maradékával.
8 = 11
·
0 + 8. A keresett maradék tehát 8.
Egy szám pontosan akkor osztható 11-gyel, ha a számjegyeinek váltakozó el
lel vett összegének abszolút értéke osztható 11-gyel.
A következőkben összefoglaljuk a legfontosabb
oszthatósági szabályokat:
TEX 2013. június 30. –
(8. lap/42. old.)
∗
Matematika 9.
∗
(08SZ)
C
M
Y
K
42