Basic HTML Version
portra oszthatók úgy, hogy mindkét csoportban pontosan ugyanazok a príms
szerepelnek, pontosan ugyanakkora kitevőn. Ez csak akkor lehetséges, ha a
nyezős felbontásban minden prímszám kitevője páros. A 7056-ra teljesül ez a f
azaz a 7056 négyzetszám: 7056 = 2
4
·
3
2
·
7
2
= 2
2
·
2
·
3
1
·
2
·
7
1
·
2
= (2
2
·
3
·
7)
2
=
c)
Állítsuk elő képzeletben a 7056 összes osztóját!
Ezek 2
·
3
·
7 alakúak, ahol 0
≤ ≤
4, 0
≤ ≤
2, és 0
≤ ≤
2.
kell megengedünk a 0 kitevőt, hogy az olyan osztókat is megkaphassuk, amel
csak 2 (pl. 2
·
3
2
·
7
0
= 18), 1 (pl. 2
3
·
3
0
·
7
0
= 8) vagy 0 (2
0
·
3
0
·
7
0
= 1)
szám szerepel. Így a megfelelő ( ; ; ) számhármasokat megkeresve valóba
találjuk a 7056 összes osztóját. Mivel helyére 5 (0, 1, 2, 3, 4), és hely
(0, 1, 2) számot írhatunk, összesen 5
·
3
·
3 = 45 különböző osztót tudunk
lítani. Két ilyen módszerrel előállított szám legalább egy prímtényezőjében
különbözik, azaz egyetlen osztót sem állítottunk elő kétszer.
Tehát a 7056-nak 45 osztója van.
Megjegyzés:
Korábban már láttuk, hogy páratlan számú osztója pontosan akk
egy számnak, ha négyzetszám, így a
c)
feladat eredményéből következik a
b
ménye.
Az 5. példa
c)
részében leírt gondolatmenetet általánosítva kapjuk az alábbi
összefüggést:
ÉTEL:
Ha egy összetett szám prímtényezős felbontása
T
1
1
·
2
2
·
·
(
1
,
2
,
,
prímszámok,
1
,
2
,
,
pozitív
egész számok), akkor a szám osztóinak száma (
1
+ 1)(
2
+ 1) ( + 1).
Összefoglalva:
Egy szám prímtényezős felbontása alapján
•
meghatározhatóak a szám osztói,
•
megállapítható a szám osztóinak száma, és
•
eldönthető, hogy a szám négyzetszám-e.
TEX 2013. június 30. –
(18. lap/52. old.)
∗
Matematika 9.
∗
(08SZ)
C
M
Y
K
52